الموضوع النموذجي 7 · رياضيات العام (النوفيام)
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: شبه منحرف قائم وهرم قاعدته مستطيل.
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطلكلّ سؤال ثلاثة اقتراحات، واحد منها فقط صحيح. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.
- العدد (−2)²⁰²⁷ / 4¹⁰¹³ يساوي:أ) 2ب) −2ج) −1/2
- تحصّل 20 تلميذًا على الأعداد التالية:
معدّل هذه السلسلة هو:العدد 8 10 12 15 التكرار 3 5 8 4 أ) 11,5ب) 11,25ج) 12 - عدد أرقام العدد 4¹⁰⁰⁰ × 25¹⁰⁰¹ هو:أ) 2001ب) 2003ج) 2002
قوّة عدد حقيقي دليلها عدد صحيح نسبيخاصيات القوى والكتابة العلميةالسلاسل الإحصائية المنقطعة والمسترسلة
عناصر الإجابة
- 1) 2027 فردي إذن (−2)²⁰²⁷ = −2²⁰²⁷، و 4¹⁰¹³ = 2²⁰²⁶، فالعدد يساوي −2²⁰²⁷/2²⁰²⁶ = −2. الجواب (ب).
- 2) المعدّل = (8×3 + 10×5 + 12×8 + 15×4)/20 = (24 + 50 + 96 + 60)/20 = 230/20 = 11,5. الجواب (أ).
- 3) 4¹⁰⁰⁰ × 25¹⁰⁰¹ = 2²⁰⁰⁰ × 5²⁰⁰² = (2 × 5)²⁰⁰⁰ × 5² = 25 × 10²⁰⁰⁰: الرقمان 2 و 5 يليهما 2000 صفر، أي 2002 رقمًا. الجواب (ج).
التمرين 2: مقارنة أعداد: قوى وجذور ومقلوبات
3,5 نقاط- بملاحظة أنّ 2³⁰ = 8¹⁰ و 3²⁰ = 9¹⁰، قارن العددين 2³⁰ و 3²⁰.
- نعتبر العددين a = √6 − √5 و b = √7 − √6.
أ) بيّن أنّ 1/a = √6 + √5 وأنّ 1/b = √7 + √6.
ب) قارن 1/a و 1/b، ثمّ استنتج مقارنة العددين a و b. - بيّن أنّ (a + 1/a)² = 24.
خاصيات القوى والكتابة العلميةمقارنة مقلوبي عددين والمقاربةحساب عبارات بها جذور تربيعيةالترتيب والضرب في IR
عناصر الإجابة
- 1) 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰ و 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰، و 8 < 9 مع عددين موجبين وأسّ موجب، إذن 8¹⁰ < 9¹⁰ أي 2³⁰ < 3²⁰.
- 2) أ) (√6 − √5)(√6 + √5) = 6 − 5 = 1 إذن 1/a = √6 + √5؛ و (√7 − √6)(√7 + √6) = 1 إذن 1/b = √7 + √6. ب) √5 < √7 إذن √6 + √5 < √7 + √6 أي 1/a < 1/b. العددان موجبان فمقلوباهما يرتّبان في الاتّجاه المعاكس: a > b.
- 3) a + 1/a = (√6 − √5) + (√6 + √5) = 2√6 إذن (a + 1/a)² = 4 × 6 = 24.
التمرين 3: تفكيك ومعادلة جذاء منعدم ومتراجحة
4,5 نقاطليكن x عددًا حقيقيًا. نعتبر العبارة A = 9x² − 6x + 1 − (x + 3)(3x − 1).
- أ) بيّن أنّ 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)².
ب) استنتج أنّ A = 2(3x − 1)(x − 2). - حلّ في ℝ المعادلة A = 0.
- أحسب A في حالة x = √2.
- أ) بيّن أنّ A = 6x² − 14x + 4.
ب) حلّ في ℝ المتراجحة A ≤ 6x² + 2 واكتب مجموعة الحلول في شكل مجال.
الجذاءات المعتبرةالعبارات الجبرية: النشر والتفكيكالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
- 1) أ) (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1 (متطابقة هامّة). ب) A = (3x − 1)² − (x + 3)(3x − 1) = (3x − 1)[(3x − 1) − (x + 3)] = (3x − 1)(2x − 4) = 2(3x − 1)(x − 2).
- 2) جذاء منعدم: 3x − 1 = 0 أو x − 2 = 0، الحلّان 1/3 و 2.
- 3) A = 2(3√2 − 1)(√2 − 2) = 2(6 − 6√2 − √2 + 2) = 2(8 − 7√2) = 16 − 14√2.
- 4) أ) 2(3x − 1)(x − 2) = 2(3x² − 7x + 2) = 6x² − 14x + 4. ب) 6x² − 14x + 4 ≤ 6x² + 2 تعني −14x ≤ −2 أي x ≥ 1/7. مجموعة الحلول [1/7 ; +∞[.
التمرين 4: شبه منحرف قائم وطالس والعلاقات القياسية
4,5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) في الرسم المقابل ABCD شبه منحرف قائم في A و D، قاعدتاه [AB] و [DC]، حيث AB = 12,5 و DC = 8 و AD = 6. لتكن H المسقط العمودي للنقطة C على (AB).
- أ) بيّن أنّ الرباعي AHCD مستطيل، ثمّ استنتج CH و HB.
ب) أحسب AC و BC. - بيّن أنّ المثلث ABC قائم في C.
- تحقّق من أنّ CH² = AH × HB.
- لتكن M النقطة من [AC] حيث AM = 4. المستقيم الموازي لـ (BC) والمارّ من M يقطع [AB] في N. أحسب AN و MN.
- بيّن أنّ (MN) ⊥ (AC)، ثمّ أحسب مساحة المثلث AMN.
عناصر الإجابة
- 1) أ) للرباعي AHCD ثلاث زوايا قائمة (في A و D و H) فهو مستطيل: CH = AD = 6 و AH = DC = 8، إذن HB = 12,5 − 8 = 4,5. ب) AC² = AH² + CH² = 64 + 36 = 100 إذن AC = 10؛ BC² = HB² + CH² = 20,25 + 36 = 56,25 إذن BC = 7,5.
- 2) AC² + BC² = 100 + 56,25 = 156,25 = 12,5² = AB²، حسب عكس بيتاغور المثلث ABC قائم في C.
- 3) CH² = 36 و AH × HB = 8 × 4,5 = 36: المساواة صحيحة (علاقة قياسية في المثلث القائم ABC).
- 4) (MN) // (CB)، حسب طالس في المثلث ACB: AN/AB = AM/AC = MN/CB = 4/10، إذن AN = 5 و MN = 3.
- 5) (MN) // (BC) و (BC) ⊥ (AC) إذن (MN) ⊥ (AC): المثلث AMN قائم في M ومساحته (AM × MN)/2 = 6 cm².
التمرين 5: هرم قاعدته مستطيل ومقطع موازٍ للقاعدة
4,5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) SABCD هرم قاعدته المستطيل ABCD حيث AB = 8 و BC = 5، والمستقيم (SA) عمودي على المستوي (ABC) و SA = 6.
- أحسب SB و SD.
- أ) بيّن أنّ المستقيم (BC) عمودي على المستوي (SAB).
ب) استنتج أنّ المثلث SBC قائم في B، ثمّ بيّن أنّ SC = 5√5. - أحسب حجم الهرم SABCD.
- لتكن I منتصف [SA]. المستوي المارّ من I والموازي للمستوي (ABC) يقطع [SB] و [SC] و [SD] على التوالي في J و K و L.
أ) بيّن أنّ IJ = 4 و JK = 2,5.
ب) استنتج حجم الهرم SIJKL.
عناصر الإجابة
- 1) (SA) عمودي على المستوي (ABC) فهو عمودي على (AB) و (AD): SB² = 36 + 64 = 100 إذن SB = 10؛ SD² = 36 + 25 = 61 إذن SD = √61.
- 2) أ) (BC) ⊥ (AB) (مستطيل) و (BC) ⊥ (SA) (لأنّ (SA) ⊥ (ABC))، و (AB) و (SA) متقاطعان في المستوي (SAB)، إذن (BC) ⊥ (SAB). ب) (BC) عمودي على كلّ مستقيم من (SAB) يمرّ من B، ومنه (BC) ⊥ (SB): SC² = SB² + BC² = 100 + 25 = 125 إذن SC = 5√5.
- 3) V = (AB × BC × SA)/3 = (40 × 6)/3 = 80 cm³.
- 4) أ) في المثلث SAB: (IJ) // (AB) و I منتصف [SA] إذن J منتصف [SB] و IJ = AB/2 = 4؛ وبالمثل K منتصف [SC] و JK = BC/2 = 2,5. ب) الهرم SIJKL تصغير للهرم SABCD بنسبة 1/2، فحجمه 80 × (1/2)³ = 10 cm³ (أو (4 × 2,5 × 3)/3 = 10).
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.